賭博數學

俗 語說「唔賭唔知時運到」，但學者指出，賭場提供的各種賭局都經過精密計算，經營者長遠來說基本是立於不敗之地，賭客若沒有幸運之神眷顧，便只能捕捉賭場的 偶然計算「失誤」才有機會取得短暫優勢；另有研究認為，投資其實也是賭博，因此賭場「法則」和賭徒心理也適用於投資市場。

著 名小說《教父》作者Mario Puzo（1920-1999）在他的Fools Die 的主角賭場大亨Gronevelt強調，「百分率（percentage）從來不會說謊。我們開設所有這些酒店都是建基於百分率，我們之所以大把錢也是因 為百分率。你可以對宗教和上帝、美女和愛情、正義與邪惡、戰爭與和平以至其他任何你說得出來的一切失去信心，但百分率的地位永遠屹立不搖。」Puzo 的意思是賭場若不是有數學上的優勢（edge），根本無法經營。

雖然Gronevelt只是小說的虛構人物，但他的「偉論」原來是經得起驗 證的賭場經營鐵律。美國丹佛大學（University of Denver）統計學副教授Robert C. Hannum在他的A Guide to Casino Mathematics文章指出，賭場經營者一直都是用博彩（gaming）而不是賭博（gamble）來形容他們的行業，其實這是更準確的說法，因為所 有賭局玩法都經過仔細的數學計算來設定，大數法則（the law of large numbers）保證了賭場是最後贏家。Hannum透露一位賭場老闆在面試時經常會問應徵者在廿一點（Blackjack）賭桌為什麼通常是莊家贏錢， 答案是廿一點的設計令莊家擁有數學上的賭場優勢（House Advantage，HA），也就是Puzo提及的edge。HA不限於廿一點，Hannum指出，賭場提供的各種賭局都有不同的HA【表一】。對於賭博 業來說，沒有其他因素會比數學重要。

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賭客提高勝算之道

HA 數值源自賭客的預期回報（expected value，EV）。EV是指賭客在同一賭桌多次下注結果的數字，以38格的「雙零」輪盤（roulette）為例，假設賭客每次下注5元紅色，他中彩的 數值是（+5）（18/38），輸掉賭注的數值為（-5）（20/38），因此EV=（+5）（18/38）+ （-5）（20/38）=-0.263，數字負值表示賭客「磨爛蓆」情況下平均每5元輸掉0.263元，而HA為0.263/5x100%=5.26%。 如以單位數（1-unit）計算，賭客之失即等於賭場之得，假設賭客下注「雙零」輪盤單一數字，他贏錢的數值為賠率的（+35）乘以1/38，而輸錢的數 值為（-1）（37/38），因此EV=（+35）（ 1/38）+ （-1）（37/38）=-0.053，HA便等於5.3%；至於較流行的「單零」輪盤EV=（+35）（1/37）+（-1）（36/37）= -0.027，則HA=2.7%。以上HA算式只適用於賭法簡單的輪盤，其他較複雜賭局的HA需要用到更高深的數學分析和電腦模擬才可以精確計算出來。

而 同一種賭局例如中國人最熟悉的骰寶，「圍骰」的HA幾乎是「大／小」的4倍【表二】，Hannum因此建議，聰明的賭客應避開那些高HA的賭局。他進一步 分析，輪盤、西洋骰（Craps）、老虎機（Slot Machines）和百家樂（Baccarat）等等都沒有技術可言，純粹是碰運氣的賭局，但百家樂和西洋骰的賠率（odds）較老虎機和輪盤公平得多， 賭客應知所選擇。另外，廿一點、視像撲克（video poker）、加勒比撲克（Caribbean Stud poker）和牌九撲克（Pai Gow poker）的賭法卻牽涉技術元素，精明的賭徒透過注碼的控制和進退有道的賭技可以有限度降低HA。

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HA 是賭場的長線利潤所在，1920年代賭場分布康城（Cannes）及蒙地卡羅的Greek Syndicate「荷官明星」Nico Zographos坦言，在賭場根本沒有運氣可言，完全是數學的對決。而大體上，賭客長時間下注其實已處於必敗之地，分別只在於他參與4%HA的賭局，輸 錢速度比2%HA的賭局快一倍而已。事實上，每個賭客由坐上賭桌的一刻開始，根據他的注碼、賭博時間和下注密度，他的「價值」（player value）──從另一角度是賭場的潛在利潤（Earning Potential，EP）已有數得計，例如賭客在百家樂枱「搏殺」12小時，每次下注500元，每小時平均下注60 次，EP=12x500x60xHA（1.2%）=4320，即是說，賭場預期收入4320元；賭客「磨」在賭局的時間愈長，EP將愈大。

既 然長賭必輸，何以賭場依然生意興隆，Hannum認為，這是由於賭徒渴望一朝發達的心理使然，他舉例指出，一個每年收入3萬美元的打工仔，假設每星期節省 5美元，一年下來可以儲蓄260美元，但區區260美元對於改善生活毫無幫助；不若每星期拿5美元去賭一鋪，雖然機會渺茫，但理論上不能排除贏到百萬美元 巨獎的可能性，一旦財星高照生活將大大改善，因此，不斷有人向賭場的大數法則挑戰，何況賭場經常會提供廉價餐點和免費住宿「酬賓」（所有費用當然從EP中 抽出一個百分比支付，羊毛出在羊身上）。

賭場的利潤來自精密的數學計算，經濟學鼻祖Adam Smith指出，如果賭博牽涉理性決定，非理性的行為就是與贏面明顯比你高的對手賭博。Smith認為所有賭局都是莊家佔優，例如彩票（lottery），買得愈多輸錢的可能性愈大；若全部彩票都買下，你肯定是輸家。

投資市場猶如賭場

然 而，從不賭博的人是否就不會有「非理性損失」？《時代》引述康奈爾大學（Cornell University）社會學博士生Kyle Siler的研究認為，投資、駕車、買屋甚至只是橫過馬路也涉及可知的風險和不肯定的回報，現今社會人們日常起居每項行動也猶如賭博，尤其是投資市場與賭 場更相似。Siler參考了2700萬宗撲克賭局發現一個奇怪的現象，在同一賭局勝出的次數愈多者結果反而輸大錢。Siler解釋，原因很簡單，賭徒耽在 賭桌時間愈長，累積的小注勝仗愈多，自信心愈來愈強，最後大手下注而一鋪輸掉所有籌碼的機會愈高。

Siler分析，賭場裏的「事態」在現實 社會也同樣發生，人們過分着重較易取得的微利而忽略了偶然一次意外的「殺傷力」，他舉例指出，2001年倒閉的能源巨企英隆（Enron）以至去年破產的 冰島政府，都是因為多次小注成功嚐到甜頭，最終一次重注失誤而陷入經濟危機。Siler更「抵死」地譬喻，情況就像一個多次偷情成功的人，最後一次被揭發 而名譽盡喪。Siler忠告，無論賭博也好投資也好，切忌投下你輸不起的注碼。